Mari Mengenal Pola Bilangan Matematika ^_^

Materi Pola bilangan yang merupakan sub bab dari materi barisan aritmatika untuk SMP disini kta akan membahas mengenai pola bilangan ganjil dan pola bilangan genap,

Apa itu pola bilangan ?
Pola ialah sebuah susunan yang mempunyai bentuk teratur, sedang bilangan itu sendiri ialah sesuatu yang digunakan untuk menunjukkan kuantitas ( banyak/sedikit ) dan ukuran ( ringan / berat / pendek / panjang / luas ). Bilangan ditunjukkan oleh suatu tanda atau lambang yang disebut angka teratur dari bentuk satu ke bentuk lainnya.

Dalam beberapa kasus kita temui seuah bilangan yang tersusun dari bilangan lain yang mempunyai pola tertentu, maka yg demikian disebut sebagai pola bilangan.

Pola Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil

Pola Bilangan Genap

Salah satu himpunan dari bilangan asli adalah bilangan ganjil. apa itu bilangan ganjil ? Bilangan ganjil adalah bilangan asli yang tak habis jika dibagi dengan 2 atau kelipatannya.

Contoh soal :
Tentukanlah jumlah 7 bilangan asli ganjil yang pertama !

jawab :
ketujuh bilangan tersebut adalah : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. jadi n=7
jumlah ke-7 bilangan tersebut adalah 7²=49
untuk membuktikan silahkan dihitung manual 1+3+5+7+9+11+13=...?

Contoh 2 pola bilangan
Berapakah banya bilangan asli ganjil yang jumlahnya 81 ?

jawab :
Kita telah mengetahui bahwa jumlah bilangan asli ganjil yaitu banyaknya bilangan asli ganjil dikuadratkan secara sederhana dapat kita tuliskan n² dari pertanyaan diatas dapat kita simpulkan bahwa
n²=81, maka
n = √81
n = 9, jadi banyaknya bilangan ganjil adalah 9.

Pola Bilangan Genap

 Selain bilangan ganjil, bilangan genap juga termasuk anggota dari bilangan asli yaitu {2, 4, 6, 8, ...}

Perhatikan susunan heksagonal seperti pada gambar berikut :

Gambar diatas menunjukkan bahwa heksagonal yang terdiri sebanyak bilangan genap dapat disusun membentuk pola tertentu. sehingga gambar diatas bisa disebut sebagai pola bilangan genap.

Untuk lebih memahami perhatikan uraian penjumlahan bilangan asli genap berikut :

Penjumlahan dari 2 bilangan genap :
2 + 4 = 6, n=2 dapat ditulis 6 = 2 (2+1)
penjumlahan 3 bilangan genap :
2 + 4 + 6 = 12, n=3 dapat ditulis 12 = 3 ( 3+1)
penjulahan 4 bilangan genap :
2 + 4 + 6 + 8 = 20, n=4 dapat ditulis 20 = 4 (4+1)

dari pola di atas seharusnya anda sudah dapat menarik kesimpulan rumus jumlah pola bilangan genap, ya benar rumusnya adalah ns = n ( n + 1 )

Untuk mengaplikasikan rumus tersebut silahkan kalian kerjaan soal berikut :

• Tentukan jumlah 10 bilangan asli pertama !
• Tentukan jumlah 8 bilangan asli pertama !

Demikian materi pola bilangan matematika sub pokok bahasan dari barisan aritmatika, semoga dapat dipahami dengan baik. selamat belajar!!!

Mari Mengenal Barisan Dan Deret Aritmatika

Barisan Aritmatika

Sedikit banyak pastinya kalian sudah taukan apa itu barisan matematika kan ? bagi yang belum tau perlu diketahui bahwa barisan bilangan dinyatakan dalam bentuk U₁, U₂, U₃,U₄, ... U_n baris bilangan seperti ini disebut dengan baris bilangan aritmatika, jika selisih dua suku berurutan selau tetap, dan selanjutnya selisih tersebut disebut dengan beda dan dilambangkan dengan huruf b

jadi nilai selisih dari baris bilangan dapat kita tuliskan sperti berikut :

b = U₂ - U₁ = U₄ - U₃ = U₆ - U₅ ... = U_n - U_n-1

Jika suku pertama dalam barisan aritmatika dinyatakan dengan a, maka didapat bentuk umum dari barisan aritmatika yaitu :

a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b,.... a+(n-1)b

a = suku pertama
b = beda

Jadi, Rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah sebagai berikut

U_n = a + ( n - 1 ) b

Contoh soal barisan aritmatika :

a) 1, 4, 7, 10, ...

b = U₂ - U₁ = U₄ - U₃ =
karena barisan bilangan tersebut mempunyai beda yang tetap yaitu 3 maka barisan tersebut merupakan barisan aritmatika.

b) 2, 5, 7, 9, ...

U₂ - U₁ = 3
U₃ - U₂ = 2

karena beda dari barisan bilangan tersebut tidak konstan/ tidak tetap maka barisan bilangan tersebut bukan barisan aritmatika.

Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah jumlah semua suku-suku pada barisan aritmatika, deret artitmatika juga biasa disebut dengan deret hitung. Deret aritmatika yang mempunyai beda lebih dari nol atau positif, maka deretnya disebut dengan deret aritmatika naik. Sedangkan deret aritmatika yang mempunyai beda kurang dari nol atau negatif maka deretnya disebut deret menurun.

Bentuk umum deret aritmatika :

a + ( a+b ) + ( a+2b ) + ( a +3b ) + ... + { a+(n-1)b}

Demikian materi barisan aritmatika dan deret aritmatika yang bisa saya berikan semoga kalian dapat memahami rumus barisan aritmatika serta rumus jumlah deret aritmatikanya.

selamat belajar !!! 

Belajar Tentang Bilangan Berpangkat Yuk !!

Pengertian Bilangan Berpangkat

 Dalam memahami pengertian bilangan berpangkat dapat dijelaskan melalui rumus berikut :

aⁿ = a x a x a x a x a ... x a sebanyak n

 Aturan dasar pengoperasian bilangan berpangkat

Berikut 8 rumus dalam materi bilangan berpangkat yang admin rasa kalian harus memahami konsepnya karena akan sangat berguna untuk penyelesaian soal-soal matematika yang berhubungan dengan pangkat. yuk simak baik-baik.

• Perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama

Rumus : a^p x a^q = a^p+q
Contoh :
a. 2³ x 2² = 2³⁺² = 2⁵
b. 10^-1 x 10⁵ = 10^-1+5 = 10⁴
c. 5 x 5⁵ = 5¹⁺⁵ = 5⁶

• Pembagian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama besar

Rumus : a^p : a^q = a^p-q

Contoh :
a. 2³ : 2² = 2^3-2 = 2¹ = 2
b. 10^-1 : 10⁵ = 10^-1-5 = 10^-6
c. 5 : 5⁵ = 5^1-5 = 5^-4

• Pemangkatan bilangan berpangkat

Rumus : (a^p)^q = a^pxq
contoh :
a. (3⁴)² = 3^4x2 = 3⁸
b. (6^-2)³ = 6^-2x3 = 6^-6

• Pemangkatan dari perkalian dua bilangan

Rumus : (a x b)^p = a^p x b^p
Contoh :
a. (2 x 5)² = 2² x 5² = 4 x 25 = 100
b. 2⁴ x 5⁴ = (2 x 5)⁴ = 10⁴ = 10000

• Pemangkatan dari pembagian dua bilangan

Rumus : (a : b)^p = a^p : b^p
Contoh :
a. (2 : 5)² = 2² : 5² = 4 : 25 = 1/4
b. 2⁴ : 5⁴ = (2 : 5)⁴

Demikian sedikit pemaparan mengenai materi bilangan berpangkat yang bisa saya berikan dan semoga bermanfaat buat kalian, terus semangat untuk belajar jangan pernah menyerah dan banyak-banyak berlatih soal-soal matematika agar kalian terbiasa.

Selamat belajar

Belajar Tentang Bilangan Pecahan

Pengertian Pecahan

Ada yang tau pengertian pecahan ? yang belum tau yuk simak baik-baik apasih pecahan itu ?

Bilangan pecahan merupakan sebuah bilangan yang terdiri dari pembilang dan juga penyebut. perhatikan gambar.

ya, yang namanya pembilang selalu berada diatas dan penyebut selalu dibawah, dalam melakukan operasi pecahan lebih mudahnya dengan menyederhanakan pembilang maupun penyebutnya. Misalnya 50/100 tampak besarkan bilangannya padahal jika kita sederhanakan nilai 50/100 sama dengan nilai 1/2. lebih mudah mana operasi dengan bilangan besar atau kecil ? tentunya lebih mudah yang kecil kan ?. :D

Untuk mempelajari cara menyederhanakan penyebut kalian bisa menuju ke sini, gimana dengan uraian diatas kalian sudah dapat memahami apa itu pecahankan ? oke mari kita lanjut ke jenis-jenis pecahan.

Jenis-jenis pecahan

Bilangan pecahan terbagi menjadi 3 yaitu : pecahan biasa, pecahan desimal dan pecahan campuran.

Bilangan pecahan biasa

Jenis pecahan yang pertama yaitu pecahan biasa yang sudah biasa kita temukan seperti 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 cara bacanya :

1/2 => setengah

1/3 => sepertiga

1/4 => seperempat

1/5 => seperlima

2/3 => dua per tiga dan seterusnya.

Bilangan pecahan desimal

Pecahan desimal biasanya dituliskan dalam bentu nol koma. misal 0,1

siswa : pak tadi katanya pecahan itu terdiri dari pembilang dan penyebut ? la itu ?

guru   : pertanyaan bagus !!

0,1 jika dituliskan dalam bentuk pembilang penyebut akan menjadi 1/10 kenapa persepuluh, karena hanya ada satu angka dibelakang koma, jika pecahan desimalnya 0,01 maka pecahan biasanya akan menjadi 1/100. semakin banyak angka di belakang koma maka semakin besar pula penyebutnya. contoh lainnya:

0,25 => nol koma dua lima

0,5 => nol koma lima

dst...

Bilangan pecahan campuran

Bilangan pecahan campuran yaitu bilangan pecahan biasa yang dicampur dengan bilangan bulat, makanya disebut dengan bilangan pecahan campuran.

1 1/2 => satu, setengah

2 2/3 => dua, dua per tiga

34 78/93 => tiga puluh empat, tujuh delapan per sembilan tiga

Demikian uraian dari saya yang bisa diberikan di blog. Selamat belajar PECAHAN.

Ayuk Belajar KPK dan FPB beserta Contoh Soalnya

KPK dan FPB merupakan salah satu materi matematika yang cukup mudah untuk dipelajari, karena materi FPB dan KPK merupakan implementasi dari pemfaktoran yang artinya sama juga dengan penjulahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, itu sih menurut saya :) Untuk mencari FPB dan KPK yang perlu kalian ketahui sebelumnya yaitu mengenai bilangan prima dan faktorisasinya.

 Pengertian FPB dan KPK

Apasih kepanjangan dari kpk ? ingat lho kpk dalam matematika bukan kepanjangan dari komisi pemberantas korupsi, KPK dalam matematika biasa disebut dengan Kelipatan Persekutuan terKecil, sedang kepanjangan dari FPB adalah Faktor Persekutuan terBesar, udah jelaskan dengan pengertiannnya ?

Intinya untuk mencari KPK adalah dengan memilih kelipatan terkecil dari 2 bilangan yang ditanyakan, sedangkan untuk mencari FPB yaitu dengan memilih faktor terbesar dari 2 bilangan yang ditanyakan. masih bingung dengan KPK dan FPB ? untuk lebih jelasnya silahkan lihat beberapa contoh soal KPK dan FPB dibawah.

Sebelum menginjak ke contoh soal penyelesaian FPB dan KPK mari kita mengingat kembali mengenai bilangan prima dan faktorisasi prima.

    Bilangan prima

Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya memiliki 2 faktor yaitu bilangan itu sendiri dan 1, yaitu {2,3,5,7,11,.....}.

    Faktorisasi prima

Menguraikan bilangan menjadi perkalian faktor-faktor prima. Untuk melakukan faktorisasi prima ini bisanya menggunakan bantuan pohon faktor untuk mempermudah.

Contoh faktor prima dari 12 dan 18

dari gambar pohon faktor disamping kita dapat mengetahui :

fator prima dari 12

2 x 2 x 3

faktor prima dari 18

2 x 3 x3 

 KPK ( kelipatan persekutuan terkecil )

 a.       Cara mencari KPK dengan Kelipatan Persekutuan

Apa sih kelipatan persekutuan itu ? kelipatan persekutuan merupakan kelipatan yang sama dari 2 bilangan atau lebih .

KPK ialah nilai terkecil dari suatu kelipatan persekutuan 2 bilangan ataupun lebih bilangan.

Contoh soal : Carilah KPK dari 4 dan 8

Kelipatan 4 adalah = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ....}

Kelipatan 8 adalah = {8, 16, 24. 32. 40, 48, 56, ...}

Jadi didapat kelipatan persekutuan dari 4 dan 8 adalah 8, 16, 24, 32, ...    ( kelipatan yang bernilai sama dari 4 dan 8)

Nilai yang terkecil dari 2 kelipatan persekutuannya adalah 8, sehingga KPKdari 4 dan 8 adalah 8 

b.      Cara mencari KPK dengan Faktorisasi Prima

- semua dari bilangan faktor dikalikan

-apabila ada yang sama ambilah yang terbesar, apabila keduanya sama ambil dari salah satunya

Contoh soal :

Carilah KPK dari 8, 12 dan 30

 Faktor Prima= 2x2x2 = 2³                        2x2x3 = 2² x 3                      2 x 3 x 5

dari ketiga faktor 8, 12 dan 30 kita hanya menemukan 3 bilangan yaitu 2, 3 dan 5

faktor 2 yang terbesar àdalah 2³     
faktor 3 nilainyà sama untuk 12 dan 30 makà ambil salah satunyà yaitu 3
faktor 5 ada 1 àmbil nilai 5
sehingga didapat KPK dari 8, 12 dan 30 adalah 2³ x 3 x 5 = 120

FPB (Faktor Persekutuan terBesar)

a.       Cara Mencari FPB dengan Faktor Persekutuan

Yang dimaksud dengan faktor persekutuan adalah faktor yang sama dari 2 bilangan ataupun lebih.
Jadi FPB adalah nilai paling besar dari faktor-faktor persekutuan dari 2 bilangan atau lebih itu.

Contoh : 
Carilah FPB dari 4, 8 dan 12
Faktor dari 4 adalah = {1, 2, 4}
Faktor dari 8 adalah = {1, 2, 4, 8}
Faktor 12 adalah= {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Jadi faktor persekutuan dari ketiga bilangan tersebut adalah 1, 2, 4
Nilai yang terbesarnya adalah 4, sehingga FPBnya adalah 4

b.     Cara Mencari FPB dengan Faktorisasi Prima

-  ambilah bilangan faktor yang sama dan ambil yang terkecil dari 2 atau lebih bilangan yang didapat dari pemfaktoran tersebut.

Contoh : cari FPB dari 4, 8 dan 12

buat pohon faktornya

faktor dari bilangan 4, 8 dan 12 yang sama adalah 2, dan  yang terkecil adalah 2² = 4
Jadi FPB dari 4, 8 dan 12 adalah 4

Contoh soal cerita materi FPB :
Bu Aminah mempunyai 20 kelengkeng dan 30 anggur, kelengkeng dan anggur akan di masukkan kedalam plastik dengan jumlah yang sama besar.
a. Berapa plastik yang diperlukan untuk membungkus buah tersebut?
b. Berapa banyak kelengkeng dan anggur pada masing-masing plastik?

Jawab:

Faktorisasi prima dari 20 = 2² x 5
Faktorisasi prima dari 30 = 2 x 3 x 5

FPB dari 20 dan 30 = 2 x 5 = 10 ( kenapa yang dikalikan 2 dan 5, jika belum pahan baca lagi keatas)

a. Jumlah plastik yang diperlukan adalah 10 plastik
b. Jumlah kelengkeng dalam setiap plastik = 20/10 = 2 jeruk
    Jujmlah anggur dalam setiap plastik = 30/10 = 3 salak
 Demikian materi matematika FPB dan KPK yang bisa saya berikan. semoga bermanfaat 

Perkalian Akar. Bagaimana ?

Perkalian akar, masih ingat dengan sifat √ab = √a × √b ya benar untuk menyederhanakan suatu akar kita dapat menggunakan sifat tersebut dan penting untuk diingat bahwa nilai a dan juga b harus dari bilangan rasional positif sedangkan untuk operasi perkalian akar kita akan menggunakan sifat √a × √b = √ab. kebalikan dari sifat pertama tadi :v

Belajar matematika tidak afdol rasanya tanpa contoh soal, yuk simak baik-baik contoh soal perkalian akar berikut agar dapat memahami konsep perkalian akar secara keseluruhan.

 Contoh Soal Perkalian Akar 1

Sederhanakan bentuk-bentuk berikut.

a. √2 × √3

b. √5 × √11

c. √3 × √7

d. √5 × √19

Penyelesaian:

 a. √2 × √3 = √(2 × 3) = √6

b. √5 × √11 = √(5 × 11) = √55

c. √3 × √7 = √(3 × 7) = √21

d. √5 × √19 = √(5 × 19) = √95

Demikian contoh perkalian bentuk akar sedehana. Bagaimana dengan operasi perkalian akar seperti a√b × c√d? Jika operasi perkalian akar seperti a√b × c√d maka berlaku sifat:

a√b × c√d = ac√bd

Contoh Soal Perkalian Akar 2

Sederhanakan bentuk akar berikut.

a. 3√2 × 2√3

b. 11√4 × 5√2

c. 7√3 × 3√7

d. 19√2 × 5√10

Penyelesaian:

a. 3√2 × 2√3 = (3 × 2)√(2 × 3) = 6√6

b. 11√4 × 5√2 = (11 × 5)√(4 × 2) = 55√8

c. 7√3 × 3√7 = (7 × 3)√(3 × 7) = 21√21

d. 19√2 × 5√10 = 19 × 5)√(2 × 10) = 95√20

Selanjutnya operasi perkalian akar dengan bentuk seperti (√a + √b)(√c + √d)? tentunya kalian sudah memahami bagaimana cara perkalian antara (a + b) (c + d) , dengan cara yang sama maka bentuk perkalian akar diatas akan menghasilkan (√a + √b)(√c + √d) = √ac + √bc + √ad + √bd)

Contoh Soal Perkalian bentuk akar 3

Sederhanakan bentuk-bentuk perkalian akar berikut.

a. (√2 + √3)(√2 + √3)

b. (√3 + √5)(√7 + √2)

c. (√5 + √6)(√5 – √6)

Penyelesaian:

a. (√2 + √3)(√2 + √3)

= √(2 × 2) + √(2 × 3) + √(3 × 2) + √(3 × 3)

= √4 + √6 + √6 + √9

= 2 + 2√6 + 3

= 5 + 2√6

b. (√3 + √5)(√7 + √2)

= √(3 × 7) + √(3 × 2) + √(5 × 7) + √(5 × 2)

= √21 + √6 + √35 + √10

c. (√5 + √6)(√5 – √6)

= √(5 × 5) + √(5 × 6) – √(6 × 5) – √(6 × 6)

= √25 + √30 – √30 –√36

= 5 – 6

= – 1

Demikian ulasan singkat mengenai pekalian bentuk akar yang bisa admin bagikan semoga bermanfaat dan untuk tatangan atas pemahaman kalian berikut ada 6 soal yang harus kalian kerjakan untuk latihan dan juga mengasah pemahaman kalian mengenai perklaian bentuk akar.

Soal perkalian akar

Sederhanakan bentuk berikut.

a. √50 × √4

b. 2√6 × √7

c. √22 × √4

d. (2√5 + 3√5)(4√5 + 5√5)

e. (2√2 – 5√2)(2√2 + 5√2)

f. (2√11 – √11)(2√11 + √11)

Selamat belajar

Mencari Akar Persamaan Kuadrat dengan Cara Rumus ABC

 

Tidak semua persoalan akar persamaan kusdrat dapat kita selesaikan dengan cara pemfaktoran, dan kalo mungkin bisa membutuhkan waktu yang lebih lama untuk menemukan jawabannya, tapi tenang saja masih ada rumus persamaan kuadrat yang sering di sebut sebagai rumus ABC sebagai solusi pemecah masalah tersebut.

Rumus ABC

lihat tanda ± dalam rumus tersebut, tanda tersebut menunjukkan adanya dua kemungkinan yang dapat dihasilkan yaitu antara x₁ dan x₂

x₁ = (-b ± √[b2 - 4ac]) / 2a
x₂ = (-b ± √[b2 - 4ac]) / 2a

 Contoh Soal
x²– 8x +9 = 0
x = (-b ± √[b2 - 4ac]) / 2a
x = (8 ± √[64 - 4·1·(9)]) / 2·1
= (8 ± √[64 -36]) / 2
= (4 ± √28) / 2
= (4 ± 2√7) / 2
= (2 ± √7)
x1 = (2 + √7)
x1 = (2 – √7)